La medida del volumen
El volumen se define como el espacio que ocupa un objeto. En algunos casos el objeto es regular y podemos, mediante fórmulas matemáticas calcular el volumen, pero la mayor parte de los objetos que solemos utilizar tiene formas irregulares.
¿Cómo puedo calcular o medir el espacio que ocupa un objeto de dimensiones irregulares?
En este post nos vamos a centrar en la medida de objetos irregulares, en otro veremos como puedo comprobar la densidad de los objetos.
Lo mejor es empezar por el principio, ¿Sabéis quien es el primer hombre que mide el volumen de cuerpos irregulares?
Arquímedes.
Seguro que muchos de vosotros habéis utilizado alguna vez en vuestra vida la expresión ¡Eureka!, o al menos la habéis escuchado. La primera vez que se utilizó esta expresión fue de la boca de Arquímedes, un gran hombre que se considera hoy día como: físico, ingeniero, inventor, astrónomo, matemático y seguro que alguna rama más tocó.
Arquímedes pensativo. Óleo sobre tela del pintor Domenico Fetti (1620). Gemäldegalerie Alte Meister, Dresde.
Arquímedes ha inspirado a cientos de generaciones desde que muere en el año 212 a.C. a manos de un soldado que desobedece sus órdenes porque antes debía resolver un problema matemático. (Ciertamente se desconocen los detalles de su muerte, pero parece que el asesinato por parte de un soldado romano es la que toma más fuerza).
Entre sus grandes inventos, destaca el tornillo de arquímedes, que hoy día se utiliza muchísimo en el sector de la construcción para elevar áridos (tierra) o algún líquido viscoso como el cemento.
Imagen tomada de wikipedia.
Arquímedes y el origen de la expresión ¡Eureka!
Eureka procede del griego y significa ¡Lo he descubierto!.
La historia cuenta que se le encargó a Arquímedes averiguar si una corona estaba hecha de oro o era falsa, además no podía dañarla. Porque si era verdadera ya no serviría, ya que la habría fundido o limado.
Estaba pensando sobre este encargo cuando decidió darse un baño. Al entrar en la bañera llena de agua se dio cuenta de que el líquido subía según él iba sumergiéndose. Entonces fue cuando se dio cuenta de que si la corona era de oro sólido tendría una mayor densidad que si esta era falsa y entonces desplazaría más agua al introducirla en la bañera.
La anécdota dice que tal fue la emoción que sintió que salió de la bañera corriendo y sin vestirse corrió por las calles de Siracusa a comunicar su hallazgo, gritando ¡Eureka!
Medida del volumen de cuerpos geométricos
Como hemos dicho antes podemos calcular el volumen de un cuerpo dividiéndolo en otros regulares más pequeños. Como por ejemplo:
Esta casita la podemos separar en dos cuerpos geométricos diferentes: Por un lado el tejado que es una pirámide de base rectangular y el cuerpo de la casa que es un prisma de base rectangular, también llamado paralelepípedo.
El área de un prisma de base rectangular se define como:
Mientras que el de la pirámide de base rectangular es:
Donde: Vprisma es el volumen del prisma; Vpiramide es el volumen de la pirámide; Abase es el área de la base, h es la altura del prisma/pirámide, b es la medida de uno de los lados de la base y hb es la otra medida de la base.
Así que el volumen del prisma es 5*3*4=60 m3 y el de la pirámide es (5*3*4)/3=20 m3
El volumen total de la casa será la suma de los dos voluménes 60 m3 + 20 m3 =80 m3
Medida de cuerpos irregulares
¿Pero y si mi casa la ha diseñado Calatrava, tiene una forma rara o es muy difícil dividirla en trozos regulares?
Bueno, en el caso de algo tan grande como una casa no vamos a poder usar el principio de Arquímedes, así que lo vamos a usar para algo más pequeño.
Arquímedes enunció lo siguiente:
"Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, experimenta un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen que desaloja"
En este caso vamos a utilizar siempre objetos que se sumerjan completamente en el agua, ya que nuestra intención es medir su volumen.
Para simplificar el problema nos vamos a quedar solo con el prisma de base rectangular.
Si sumergimos el cubo en un vaso cilindrico de agua veremos el siguiente efecto:
Nuestro vaso tiene forma cilíndrica así pues el volumen de agua que hay antes de sumirgir mi cubo es de:
Podemos observar que el nivel del agua ha subido 0,53 metros, es decir que el volumen de agua ha aumentado:
Nosotros ya sabíamos que el prisma tenía un volumen de 60 m3.
¿Porqué no nos ha salido la medida exacta?
Muy fácil, siempre que medimos tenemos un error de medición según el aparato que usemos. Además de que el número Pi, como bien sabrás tiene infinitas cifras decimales, por lo que siempre utilizamos una aproximación.
Cuantas más cifras decimales tomemos al medir y al calcular más exacto nos saldrá.
Experimenta tú mismo:
Ya has visto como podemos medir volúmenes de objetos que no son simétricos, ahora te toca a ti.
Materiales:
- Un vaso de agua
- Un rotulador para pizarras, para luedo poder borrar las marcas que hagamos
- Cualquier objeto que quepa en tu vaso y que quieras medir. Procura que este no flote. Por ejemplo una goma de borrar.
Desarrollo del experimento:
- Coged el vaso y llenarlo por encima de la mitad, pero no entero, no queremos que el agua se desborde.
- Marcad con el rotulador el nivel en el que se encuentra el agua.
- Echad el objeto que habéis elegido, por ejemplo la goma.
- Volved a marcar el nivel del agua.
Alumnos a los que va enfocado
Cualquier persona puede hacer este experimento, ya que no supone ningún riesgo para la persona que lo realiza.
Bibliografía
https://www.vix.com/es/btg/curiosidades/4675/arquimedes-y-su-famoso-eureka
https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes#Biograf%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/%C2%A1Eureka!
https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes#Biograf%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/%C2%A1Eureka!
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Aquel que lo intentó y no lo consiguió es superior al que ni lo intentó. (Arquímedes)
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