Quizás nunca hayais oído hablar de la cinta o banda de Möbius. Pero a todos los alumnos a los que les enseño lo fácil que es construirla y lo interesante que puede llegar a ser se quedan fascinados. Esta simple banda oculta muchas incógnitas, algunas de las cuales son difíciles de asimilar para nuestras mentes.
¿Qué es la banda de Möbius?
Es una superficie fascinante que por sus propiedades se ha utilizado y aún se utiliza en campos tan diferentes como las matemáticas, el arte, la ingeniería, la magia, la ciencia, la arquitectura, la música, el diseño, la literatura, etc.
La banda de Möbius es una superficie de dimensión dos, con un único borde y una única cara. Es además no orientable, es decir, no se puede encajar en el espacio de dimensión 3.
La banda de Möbius es una superficie de dimensión dos, con un único borde y una única cara. Es además no orientable, es decir, no se puede encajar en el espacio de dimensión 3.
Si bien su descripción es compleja, su construcción es de lo más sencillo. Para poder entenderla primero vamos a construir una.
Construyamos una banda de Möbius
Para ello necesitamos:
- dos tiras de papel (dos, para que salga más grande nuestra cinta y así sea más fácil trabajar con ella)
- cinta adhesiva
Los pasos a realizar son:
- Pinta una de las caras de las cintas que has recortado:
- Pegalas por uno de sus extremos con cinta adhesiva. Las caras coloreadas quedarán las dos hacia arriba. Fíjate en que tienes una tira de papel con dos caras, una superior y otra inferior. Además tiene dos bordes por los que pasar el dedo.
- Coge los extremos laterales. Gira 180º (dale la vuelta) a uno de ellos y pegalos.
Historia de la banda de Möbius
En 1858 la banda de Moebius fue descubierta simultáneamente por dos matemáticos: el alemán August F. Möbius (1790-1868) y el también alemán Johann B. Listing (1808-1882). Aunque parece algo imposible, ambos matemáticos la descubrieron a la vez, pero no trabajaron juntos, es por eso que no lleva el nombre de los dos. Si bien Listing es considerado el padre de la topología, fue Möbius el que indagó más en las propiedades de esta fascinante superficie y es por eso que lleva su nombre.
Aunque nunca os hayais dado cuenta, actualmente es un símbolo asociado al reciclaje.
Propiedades de la banda y como demostrarlas
Ya hemos dado antes algunas pinceladas sobre sus propiedades y ahora las vamos a desarrollar un poco:
- Es una cinta en tres dimensiones
Puedes observar en la cinta que tú mism@ te has construido que no se queda pegada a la mesa, sino que tiene tres dimensiones.
- Tiene una sola cara
Quizás esto no sea tan fácil de ver a simple vista, pero su demostración te va a dejar boquiabiert@. Coge un lápiz y pon su punta en una de sus caras y recorre la cinta a lo largo de ella. Fíjate en que le has dado la vuelta a la cinta y sin levantar el lápiz de la misma ¡has llegado a la otra cara!
En la cinta que os he dejado aquí dibujada, fijáos que he dibujado mis papeles por los dos lados sin levantar el lápiz de mi cinta y además he llegado al mismo sitio.
- Tiene un solo borde
Al igual que en la experiencia anterior, ahora voy a repasar el borde de mi cinta y veréis que paso de un borde a otro sin levantar el dedo de la cinta.
- Tiene recorrido infinito
En las dos imágenes que os he mostrado antes podéis ver que estos mismos recorridos con el lápiz o con el dedo los podéis hacer durante horas, días, semanas... SIEMPRE!!
- No es orientable
Esta es quizás la más difícil de mostrar desde aquí, así que esta la voy a hacer yo misma con mi cinta de Möbius que me he fabricado al principio. Para ello tenéis que dibujar unos ejes cartesianos y haber entendido que la cinta solo tiene una cara. dibujo los mismos ejes cartesianos al rededor de la cinta hasta llegar al mismo punto de partida.
Fijáos en que cuando llego al mismo punto de partida, unos ejes quedan en sentido positivo y otros en el negativo. Curioso, ¿verdad?
Experimenta tú mismo:
Ahora coge una tira de papel, hazte tu propia banda de Möbius y fíjate en como se demuestran cada una de las propiedades de ella.
Alumnos a los que va enfocado
Dado que aquí no hemos hablado del desarrollo matemático de la banda de Möbius, este experimento lo pueden desarrollar cualquier alumno de cualquier edad. Es muy interesante ver como descubren que algo tan sencillo como un folio puede convertirse en algo tan abstracto.
Bibliografía
https://es.wikipedia.org/wiki/Banda_de_M%C3%B6bius
https://matesmates.wordpress.com/2011/02/16/la-cinta-de-moebius/
http://cienciaysalud.laverdad.es/6_1_15.html
http://gpdmatematica.org.ar/wp-content/uploads/2016/03/cinta_moebius.pdf
http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Moebius_Durango_14marzo2011.pdf
http://www.ehu.eus/~mtwmastm/PG-08-09-Macho.pdf
https://www.gaussianos.com/la-banda-de-mobius-cuanto-juego-da-una-sola-cara/
http://www.ehu.eus/~mtwmastm/IngenieriaArquitectura.pdf
https://www.yarquitectura.com/cinta-de-moebius/
https://matesmates.wordpress.com/2011/02/16/la-cinta-de-moebius/
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http://gpdmatematica.org.ar/wp-content/uploads/2016/03/cinta_moebius.pdf
http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Moebius_Durango_14marzo2011.pdf
http://www.ehu.eus/~mtwmastm/PG-08-09-Macho.pdf
https://www.gaussianos.com/la-banda-de-mobius-cuanto-juego-da-una-sola-cara/
http://www.ehu.eus/~mtwmastm/IngenieriaArquitectura.pdf
https://www.yarquitectura.com/cinta-de-moebius/
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El hombre, nos lo han dicho muchas veces, es un oscuro enigma; pero ¿en qué lo es más que el resto de la naturaleza? (Voltaire)
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